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Inversione delle serie di potenze

Oggi torno, dopo un lungo periodo, a discutere di un argomento puramente teorico. Recentemente, un problema posto dal mio amico L mi ha portato a considerare la possibilità di invertire una serie di potenze. In altre parole, data una funzione espressa come serie di potenze in x, si vorrebbe un metodo per trovare la serie di potenze che definisce la sua inversa:

f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n x^n\qquad\qquad g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}g_n x^n

g\circ f(x) = g(f(x)) = \sum_{i=1}^{+\infty}g_i \bigg({\sum_{j=1}^{+\infty}f_j x^j}\bigg)^i = x

Il problema è di una certa rilevanza poiché spesso le inverse non sono facilmente esprimibili in termini di funzioni “semplici” come quelle di partenza. Ad esempio, se si considera:

y = f(x) = x + \sin(x)

Si noterà subito che non esiste un numero finito di passaggi per trovare x in funzione di y. In effetti, tale relazione è un’equazione trascendente ed è il fulcro del problema posto dal mio amico: a lui serviva un’espressione approssimata per l’inversa, in modo da non dover ricorrere ogni volta ad un procedimento numerico per trovare una soluzione.

Ci sono molti modi per venirne a capo. Nutrendo ancora (nonostante i cinque anni di sofferenza) una passione segreta per la matematica, ho probabilmente seguito quello più teorico e avulso dalla realtà, l’unico vantaggio del quale è la sicurezza che esso tende, con l’aumentare della precisione, alla vera inversa. Naturalmente non è nulla di nuovo, cercando ben bene qualcosa in internet l’avevo pure trovato, ma scritto in modo tanto formale da risultare incomprensibile (e per queste parole mi perdoni C, un altro mio amico).

L’idea è di scrivere la funzione come serie di potenze e di determinare dai suoi coefficienti quelli dell’inversa. Dopo una giornata di conti, sono riuscito a trovare le relazioni che definiscono i coefficienti dell’inversa fino al settimo grado; per andare oltre, ho dovuto scrivere una piccola libreria in Python e metterla a punto per due giorni. Le prime relazioni sono:

{g_1} = \frac{1}{f_1}
g_2 = -\frac{f_2}{f_1^3}
g_3 = \frac{2f_2^2}{f_1^5} - \frac{f_3}{f_1^4}

Oltre alla prima, piuttosto ovvia, per ottenerle bisogna pareggiare i termini di grado uguale nello sviluppo della doppia sommatoria di cui sopra. Ciò conduce al problema delle partizioni degli interi (dove l’intero da partizionare è l’esponente del grado considerato) e alla loro rappresentazione tramite i diagrammi di Young o di Ferres. È chiaro dalle relazioni che esse valgono solo se la funzione “diretta” ha derivata diversa da zero sul punto dove è sviluppata, altrimenti l’inversa ha derivata divergente sullo stesso punto e lo sviluppo in serie di potenze intere cessa di essere possibile.

Ho scritto un breve documento dove delineo il procedimento teorico per ottenere le relazioni e risolvo il problema di x+sin(x). Potete accedervi da qui: Inversione di Serie di Potenze. Mi raccomando, non passate tutto il giorno a invertire serie di potenze, può far molto male. Non dite che non vi avevo avvertiti!

A presto!

Permalink link a questo articolo: https://www.giovanniceribella.eu/fuere/?p=1271

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